牛頓第三定律不再起作用 研究員找到思考非平衡系統(tǒng)中相變新方法

世界上還有許多并未達(dá)到平衡的系統(tǒng)，比如生命，在這樣的系統(tǒng)中，牛頓第三定律失效了。目前，芝加哥大學(xué)的研究員找到了一種思考非平衡系統(tǒng)中相變的新方法。

牛頓第三運(yùn)動(dòng)定律表述是：相互作用的兩個(gè)物體之間的作用力和反作用力總是大小相等，方向相反，作用在同一條直線上。由牛頓在 1687 年提出，和第一、第二定律共同闡述了經(jīng)典力學(xué)中基本的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

400 年來(lái)，事物確實(shí)在按照這樣的定律運(yùn)動(dòng)，比如我們不會(huì)從地板上掉下去，是因?yàn)榈匕逡苍谕浦覀儯瑸槭裁磩潣梢酝苿?dòng)船前進(jìn)，是因?yàn)樗苍谕苿?dòng)船槳。

當(dāng)系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時(shí)，沒(méi)有能量進(jìn)出，這種基本規(guī)則。從數(shù)學(xué)上講，這種系統(tǒng)可以用統(tǒng)計(jì)力學(xué)來(lái)完美描述，從而使得人類能夠完全模擬物質(zhì)相變的條件，例如水結(jié)冰。

但世界上還有許多并未達(dá)到平衡的系統(tǒng)，比如生命本身。

在這樣的系統(tǒng)中，牛頓第三定律失效了。芝加哥大學(xué)凝聚態(tài)理論家 Vincenzo Vitelli 將其命名為“非互惠系統(tǒng)”。

“想象一下，如果 A 對(duì) B 粒子的作用方式與 B 對(duì) A 的作用方式不同，并且作用力也不同，這種非互惠(nonreciprocity) 關(guān)系出現(xiàn)在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，甚至社會(huì)群體中，會(huì)變成什么樣?”Vitelli 說(shuō)。

對(duì)于這些不守規(guī)矩的系統(tǒng)，非互惠性占主導(dǎo)，統(tǒng)計(jì)力學(xué)無(wú)法表示相變。我們?nèi)绾蚊枋鲞@樣不斷變化的系統(tǒng)呢?

Vitelli 和同事在數(shù)學(xué)對(duì)象中找到了答案，稱為“奇點(diǎn)”，即兩個(gè)或多個(gè)特征屬性變得無(wú)法區(qū)分并在數(shù)學(xué)上合二為一的點(diǎn)。

在奇點(diǎn)上，系統(tǒng)的數(shù)學(xué)行為與其在附近點(diǎn)的行為截然不同，因此奇點(diǎn)通常用來(lái)描述系統(tǒng)中的奇怪現(xiàn)象。比如激光，在這個(gè)系統(tǒng)中能量不斷獲得和損失。

現(xiàn)在，Vitelli 團(tuán)隊(duì)發(fā)現(xiàn)，這些奇點(diǎn)也控制著非互惠系統(tǒng)中的相變。對(duì)奇點(diǎn)的研究并不是新事，幾十年來(lái)，物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家在各種環(huán)境中對(duì)它們進(jìn)行研究，但從未將奇點(diǎn)與相變聯(lián)系在一起。Vitelli 的發(fā)現(xiàn)或許將推動(dòng)數(shù)學(xué)、物理向前發(fā)展。

當(dāng)對(duì)稱性破裂時(shí)，“奇點(diǎn)”出現(xiàn)

這項(xiàng)研究從量子怪異開(kāi)始。幾年前，芝加哥大學(xué)博士后研究員 Ryo Hanai 和他的導(dǎo)師 Peter Littlewood，正在研究一種叫做極化子的準(zhǔn)粒子。

準(zhǔn)粒子本身不是粒子，它是一組量子行為?？傮w上看，它們的行為類似于一個(gè)粒子。當(dāng)光子 (負(fù)責(zé)光的粒子) 與激子 (激子本身就是準(zhǔn)粒子) 耦合時(shí)，極化子就出現(xiàn)了。

極化子的質(zhì)量極低，意味著它們可以移動(dòng)得非?？欤⑶铱梢栽诒绕渌Ｗ痈叩臏囟认滦纬梢环N稱為玻色-愛(ài)因斯坦凝聚體 (Bose-Einstein condensate ，BEC) 的物質(zhì)狀態(tài)。在 BEC 狀態(tài)下，分離的原子全部坍縮成一個(gè)單一的量子態(tài)。

相變，例如水凍結(jié)，在平衡系統(tǒng)中很容易理解。但芝加哥大學(xué)的 Peter Littlewood(左)和 Ryo Hanai 發(fā)現(xiàn)，在能量不斷泵入的量子系統(tǒng)中，相變可以理解為奇點(diǎn)，稱為異常點(diǎn)。

然而，使用極化子來(lái)創(chuàng)建 BEC 極其復(fù)雜，因?yàn)檫@個(gè)系統(tǒng)是“漏”的：一些光子不斷地逃離系統(tǒng)，就意味著光必須不斷地被泵入系統(tǒng)，以彌補(bǔ)差額。Hanai 說(shuō)：“從理論角度來(lái)看，這就是我們感興趣的地方。”

對(duì) Hanai 和 Littlewood 來(lái)說(shuō)，這類似于創(chuàng)造激光。他們想知道：非平衡狀態(tài)如何影響物質(zhì)躍遷到 BEC 或其他奇異量子態(tài)?特別是，這種變化如何影響系統(tǒng)的對(duì)稱性?

在物理學(xué)中，研究最多的相變出現(xiàn)在磁性材料中，像鐵或鎳這樣的磁性材料中的原子都有一種叫做磁矩(magnetic moment)的東西，可以理解它是一個(gè)很小的、單獨(dú)的磁場(chǎng)。

在磁體中，這些磁矩都指向同一方向并產(chǎn)生磁場(chǎng)。但是，如果將磁性材料加熱到足夠高，這些磁矩就會(huì)變得混亂，有些指向一個(gè)方向，有些指向另一個(gè)方向--整個(gè)磁場(chǎng)消失了，對(duì)稱性恢復(fù)了。

當(dāng)它冷卻時(shí)，方向瞬間再次對(duì)齊，自由形態(tài)的對(duì)稱性被打破，并恢復(fù)磁性。

鳥群也可以被視為對(duì)稱性的破壞：它們不是以隨機(jī)的方向飛行，而是像磁鐵中的自旋一樣排列整齊。但是有一個(gè)重要的區(qū)別：鐵磁相變很容易用統(tǒng)計(jì)力學(xué)解釋，因?yàn)樗且粋€(gè)平衡系統(tǒng)。但是鳥類，以及交通中的細(xì)胞、細(xì)菌和汽車，因?yàn)樗鼈冇袃?nèi)部能量的來(lái)源，所以它們的行為不同。

量子研究之外

Hanai 和 Littlewood 因此開(kāi)始了從生活中最常見(jiàn)的相變到 BEC 相變的研究。

以水為例：Littlewood 說(shuō)，盡管液態(tài)水和蒸汽看起來(lái)不同，但它們之間基本上沒(méi)有對(duì)稱性區(qū)別。從數(shù)學(xué)上講，在過(guò)渡點(diǎn)，這兩種狀態(tài)是不可區(qū)分的。在平衡系統(tǒng)中，那個(gè)點(diǎn)稱為臨界點(diǎn)。

臨界現(xiàn)象隨處可見(jiàn) —— 在宇宙學(xué)中，在高能物理學(xué)中，甚至在生物系統(tǒng)中，但在這些系統(tǒng)中都找不到一個(gè)很好的模型來(lái)描述量子力學(xué)系統(tǒng)與環(huán)境耦合時(shí)所形成的凝聚物，這種凝聚物經(jīng)歷著持續(xù)的阻尼和抽吸(damping and pumping)。

Hanai 和 Littlewood 懷疑臨界點(diǎn)和奇點(diǎn)有一些共同的重要屬性，即使它們顯然來(lái)自不同的機(jī)制。臨界點(diǎn)是一種有趣的數(shù)學(xué)抽象，但你無(wú)法區(qū)分這兩個(gè)階段。同樣的事情也發(fā)生在這些極化子系統(tǒng)中。

他們也知道，在數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上，激光，嚴(yán)格來(lái)說(shuō)是物質(zhì)的一種狀態(tài)，它和極化子 BEC 有著相同的基本方程。在 2019 年發(fā)表的一篇論文中，研究人員將這些點(diǎn)聯(lián)系起來(lái)，提出了一種新的、至關(guān)重要的通用機(jī)制，通過(guò)這種機(jī)制，奇點(diǎn)導(dǎo)致量子動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中的相變。

“我們認(rèn)為，這是對(duì)這些轉(zhuǎn)變的第一種解釋，”Hanai 說(shuō)。

大約在同一時(shí)間，Hanai 說(shuō)，他們意識(shí)到，即使他們?cè)谘芯课镔|(zhì)的量子態(tài)，他們的方程并不依賴于量子力學(xué)。

“我們開(kāi)始懷疑，將相變與奇點(diǎn)連接起來(lái)，或許也可以應(yīng)用于經(jīng)典系統(tǒng)。”

但要實(shí)現(xiàn)這個(gè)想法，他們需要幫助。他們找到了 Vitelli ，以及 Vitelli 實(shí)驗(yàn)室中研究經(jīng)典領(lǐng)域中的不尋常對(duì)稱性的研究員 Michel Fruchart。他們兩個(gè)關(guān)注到了具有非互惠作用的超材料，例如，當(dāng)超材料被壓在一邊或另一邊時(shí)，它們可能表現(xiàn)出不同的反應(yīng)，也可能表現(xiàn)出特殊的點(diǎn)。

Vitelli 和 Fruchart 想知道：在極化子凝聚中，是否存在一些普遍的原理，是否存在一些關(guān)于能量不守恒系統(tǒng)的基本定律?

Vitelli 和同樣來(lái)自芝加哥大學(xué)的 Michel Fruchart 與 Littlewood 和 Hanai 一起，使用分叉理論的數(shù)學(xué)框架并放寬了對(duì)能量格局的通常假設(shè)，將他們的量子工作擴(kuò)展到所有非互惠系統(tǒng)。

非互惠性和相變

現(xiàn)在，他們四位開(kāi)始尋找支持非互惠性和相變之間聯(lián)系的一般原則。對(duì) Vitelli 來(lái)說(shuō)，這考驗(yàn)動(dòng)手能力。他習(xí)慣于構(gòu)建物理機(jī)械系統(tǒng)來(lái)說(shuō)明困難的抽象現(xiàn)象。例如，在過(guò)去，他使用樂(lè)高積木來(lái)構(gòu)建格子，這些格子成為拓?fù)洳牧希吘壱苿?dòng)方式與內(nèi)部移動(dòng)方式不同。

他說(shuō)：“盡管我們談?wù)摰氖抢碚?，但仍然可以用玩具?lái)證明。”

但他說(shuō)，要想獲得特別的分?jǐn)?shù)，樂(lè)高是不夠的。他意識(shí)到，使用可以自己移動(dòng)但受非互惠規(guī)則支配的構(gòu)建塊來(lái)建模。

但這里有一個(gè)非互惠性：每個(gè)機(jī)器人都被編程為與其他相同顏色的機(jī)器人對(duì)齊，但它們也被編程為非互惠行為：紅色機(jī)器人想要與藍(lán)色機(jī)器人對(duì)齊，而藍(lán)色機(jī)器人想要指向相反的方向。

這種安排保證了沒(méi)有一個(gè)機(jī)器人會(huì)得到它想要的東西。

該小組將機(jī)器人分散在地板上，并同時(shí)啟動(dòng)它們。幾乎立刻就出現(xiàn)了一種模式。機(jī)器人開(kāi)始移動(dòng)，緩慢但同時(shí)地旋轉(zhuǎn)，直到它們基本上都在原地，朝著同一個(gè)方向旋轉(zhuǎn)。

Vitelli 說(shuō)，機(jī)器人沒(méi)有內(nèi)置旋轉(zhuǎn)功能。“這是由于互動(dòng)規(guī)則，他們總是在行動(dòng)中受挫。但這些旋轉(zhuǎn)恰恰證明了一個(gè)系統(tǒng)不平衡時(shí)的相變。”

他們展示的對(duì)稱性破壞在數(shù)學(xué)上與 Hanai 和 Littlewood 在研究奇異量子凝聚時(shí)發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象一致。

為了更好地探索這種比較，研究人員轉(zhuǎn)向了數(shù)學(xué)領(lǐng)域的分岔理論。分岔是動(dòng)態(tài)系統(tǒng)行為的一種質(zhì)的變化，通常表現(xiàn)為一個(gè)狀態(tài)分裂為兩個(gè)狀態(tài)。

研究人員還模擬了兩組不同關(guān)系、以恒定速度移動(dòng)的智能體。

在左 1，紅藍(lán)兩組隨機(jī)移動(dòng)。但左 2，藍(lán)色和紅色的智能體向同一個(gè)方向移動(dòng)，自發(fā)打破對(duì)稱性并表現(xiàn)出群聚行為。

在左 3，紅藍(lán)兩組隨機(jī)向相反方向移動(dòng)時(shí)，就會(huì)出現(xiàn)類似反群聚的行為。

在非互惠的情況下，在它們繞圈運(yùn)行的地方出現(xiàn)自發(fā)對(duì)稱破缺。

數(shù)學(xué)家們畫出分岔圖來(lái)分析系統(tǒng)的狀態(tài)如何響應(yīng)其參數(shù)的變化。通常，一個(gè)分叉將穩(wěn)定與不穩(wěn)定區(qū)分開(kāi)來(lái)，也可以劃分不同類型的穩(wěn)定狀態(tài)。

它在研究與數(shù)學(xué)混沌相關(guān)的系統(tǒng)時(shí)很有用，在這種情況下，起始點(diǎn)的微小變化 (開(kāi)始時(shí)的一個(gè)參數(shù)) 可能引發(fā)結(jié)果的巨大變化。通過(guò)分岔點(diǎn)的級(jí)聯(lián)，系統(tǒng)從非混沌行為轉(zhuǎn)變?yōu)榛煦缧袨?。分岔與相變有著長(zhǎng)期存在的聯(lián)系，這四位研究人員基于這種聯(lián)系更好地理解了非互惠系統(tǒng)。

這意味著他們還必須考慮能源格局。在統(tǒng)計(jì)力學(xué)中，系統(tǒng)的能量景觀顯示了能量如何在空間中改變形式 (如從勢(shì)能到動(dòng)能)。在平衡狀態(tài)下，物質(zhì)的各相對(duì)應(yīng)于能量景觀的最小值 —— 谷值。但是這種對(duì)物質(zhì)相的解釋需要系統(tǒng)最終處于那些極小值，F(xiàn)ruchart 說(shuō)。

Vitelli 說(shuō)，也許這項(xiàng)新工作最重要的方面是：它揭示了物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家用來(lái)描述不斷變化的系統(tǒng)時(shí)，而出現(xiàn)的現(xiàn)有語(yǔ)言的局限性。他說(shuō)，當(dāng)平衡是給定的，因?yàn)闆](méi)有能量增加或損失，統(tǒng)計(jì)力學(xué)根據(jù)最小化能量來(lái)構(gòu)建行為和現(xiàn)象。但是當(dāng)一個(gè)系統(tǒng)失去平衡時(shí)，“必然地，你不能再用我們熟悉的能量語(yǔ)言來(lái)描述它，但你仍然可以在集體狀態(tài)之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換，”他說(shuō)。新方法放寬了基本假設(shè)，即描述相變必須使能量最小化。

“當(dāng)我們假設(shè)沒(méi)有互惠關(guān)系時(shí)，我們就不能再定義我們的能量了，”Vitelli 說(shuō)，“我們必須將這些轉(zhuǎn)變的語(yǔ)言改寫為動(dòng)態(tài)的語(yǔ)言。”

尋找更復(fù)雜的系統(tǒng)

Vitelli 說(shuō)，幾乎所有具有非互易行為的動(dòng)力系統(tǒng)都值得用這種新方法進(jìn)行探索。“這確實(shí)是朝著動(dòng)態(tài)不受優(yōu)化原則控制的系統(tǒng)中集體現(xiàn)象的一般理論邁出的一步。”

為了證明他們的想法是如何協(xié)同工作的，研究人員分析了一系列非互惠系統(tǒng)。因?yàn)樗鼈兣c奇點(diǎn)相連的相變類型不能用能量考慮來(lái)描述，但這些奇點(diǎn)對(duì)稱位移只能發(fā)生在非互惠系統(tǒng)中。這表明，除了相互作用之外，動(dòng)力系統(tǒng)中還有一系列可以用新框架描述的現(xiàn)象。

Littlewood 說(shuō)，他們已經(jīng)開(kāi)始把這個(gè)理論推廣到其他不具有相同屬性的動(dòng)力系統(tǒng)中。

Vitelli 說(shuō)，幾乎任何具有非互惠行為的動(dòng)力系統(tǒng)都值得用這種新方法進(jìn)行探索。“這確實(shí)是向不受優(yōu)化原則支配的系統(tǒng)中集體現(xiàn)象的一般理論邁出的一步。”

Littlewood 說(shuō)，他最興奮的是在最復(fù)雜的動(dòng)力系統(tǒng)之一：在人類大腦中尋找相變。

“我們接下來(lái)要研究的是神經(jīng)科學(xué)，”他指出，神經(jīng)元有“多種類型”，有時(shí)是興奮的，有時(shí)是抑制的。“很明顯，這是非對(duì)等的。這意味著它們的連接和相互作用可以通過(guò)使用分叉精確地建模，并通過(guò)尋找神經(jīng)元同步和顯示周期的相位轉(zhuǎn)換。

這項(xiàng)工作可能與研究人員尚未認(rèn)識(shí)到的其他數(shù)學(xué)主題有關(guān)，比如湍流傳輸或流體流動(dòng)。但是非互易系統(tǒng)可能會(huì)表現(xiàn)出相變或其他空間模式，目前還缺乏適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語(yǔ)言。

這項(xiàng)工作可能充滿了新的機(jī)會(huì)，也許我們需要新的數(shù)學(xué)。這是數(shù)學(xué)和物理相互聯(lián)系的核心，讓兩者都受益。

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